A Mathieu-egyenlet vizsgálata Carleman-linearizációval

Investigation of the Mathieu equation via Carleman linearization

Abstract

The Mathieu equation is a linear differential equation with a periodic coefficient, playing an important role in the stability analysis of parametrically excited systems. Using the Cauchy transformation, the Mathieu equation can be rewritten as a nonlinear system of differential equations, to which we apply Carleman-linearization. However, due to the neglect of higher-order nonlinear terms, the solution of the Carleman-linearized system does not provide sufficiently accurate results over a broader time interval. To address this, we propose a new method that incorporates a nonlinear mapping to improve the solution of the linearized differential equation system obtained through Carleman-linearization. The results obtained using the latter approach show significant improvements.

Kivonat

A Mathieu-egyenlet egy periodikus együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, mely fontos szerepet játszik a parametrikusan gerjesztett rendszerek stabilitásának vizsgálatában. A Mathieu-egyenlet Cauchy-átírással átalakítható egy nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerré, amelyre a Carleman-linearizációt alkalmazzuk. A Carleman-linearizált rendszer megoldása a magasabb rendű nemlineáris tagok elhanyagolása miatt nem ad megfelelően pontos megoldást tágabb időintervallumon, ezért egy nemlineáris leképezést felhasználva új módszert javasolunk a Carleman-linearizációval kapott lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldására. Az így kapott eredmények jelentős javulást mutatnak.