A Maxwell-Cattaneo-Vernotte hővezetési modell kezdeti feltételeinek numerikus vizsgálata

Numerical investigation of initial conditions for the Maxwell-Cattaneo-Vernotte heat conduction model

Absztrakt

Heat conduction, the transport of thermal energy within a material, is one of the fundamental mechanisms of heat transfer. While the homogeneous case can be described adequately by the classical Fourier law, heat conduction of heterogeneous materials requires more advanced, non-Fourier models. Such descriptions are mathematically more demanding, and the presence of an inhomogeneous initial condition – such as the temperature field created by a heat-pulse experiment – adds further complexity. In this work, I investigated the Maxwell–Cattaneo–Vernotte (MCV) model for the case of an inhomogeneous initial temperature distribution. My objective was to develop numerical schemes that solve the governing partial differential equations in their original coupled system form, rather than reducing them to a single equation, as is commonly done in the literature. Although the latter approach can simplify the analysis, it may lead to a loss of information depending on the prescribed initial and boundary conditions. To assess the accuracy of the numerical solutions, I also derived an analytical reference solution using the Galerkin method, which served as a benchmark for validation. The proposed approach is readily extendable to more comprehensive models (e.g., the Guyer–Krumhansl model) and may support the future development of simulation frameworks for heat conduction in heterogeneous materials.

Kivonat

A hőközlés egyik alapvető módja a hő anyagokon belüli terjedése, azaz a hővezetés. Homogén anyagok esetén a folyamat jól leírható a Fourier-féle hővezetési modellel, heterogén anyagok vizsgálatánál azonban gyakran egy Fourier-n túli, összetettebb leírásra van szükség. Ezek a modellek matematikailag nehezebben kezelhetők, és az inhomogén kezdeti feltétel - ami például hőimpulzus-kísérletet követően kialakuló hőmérséklet-eloszlásból is adódhat - tovább növeli a feladat bonyolultságát. A munkában a Maxwell–Cattaneo–Vernotte (MCV) hővezetési modellt vizsgáltam inhomogén kezdeti hőmérséklet-eloszlás mellett. Célom olyan numerikus sémák felállítása volt, amely a leíró parciális differenciálegyenlet-rendszert eredeti formájában, rendszerként kezeli, szemben a szakirodalomban gyakran alkalmazott, egyetlen egyenletre történő átalakítással, amely ugyan egyszerűbb, de a kezdeti- és peremfeltételektől függően információvesztéssel járhat. A numerikus eredmények ellenőrzésére Galjorkin-módszerrel analitikus referencia-megoldást is előállítottam, amely összehasonlítási alapot biztosított a sémák validálásához. Az eredmények kiterjeszthetők összetettebb modellekre is (például a Guyer–Krumhansl-modell), és így később hozzájárulhatnak a heterogén anyagok hővezetését célzó szimulációs környezetek fejlesztéséhez.